逻辑回归
https://github/lawlite19/machinelearning_python/tree/master/logisticregression
全部代码
https://github/lawlite19/machinelearning_python/blob/master/logisticregression/logisticregression.py
代价函数
可以综合起来为：
其中：
为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
的图像如下，即y=1时：
可以看出，当
趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若
趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值
同理
的图像如下（y=0）：
梯度同样对代价函数求偏导：
可以看出与线性回归的偏导数一致
推导过程
正则化目的是为了防止过拟合
在代价函数中加上一项
注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，x中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化
正则化后的代价：
# 代价函数def costfunction(initial_theta,x,y,inital_lambda): m = len(y) j = 0 h = sigmoid(np.dot(x,initial_theta)) # 计算h(z) theta1 = initial_theta.copy() # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0 theta1[0] = 0 temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1) j = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m # 正则化的代价方程 return j
正则化后的代价的梯度
# 计算梯度def gradient(initial_theta,x,y,inital_lambda): m = len(y) grad = np.zeros((initial_theta.shape[0])) h = sigmoid(np.dot(x,initial_theta))# 计算h(z) theta1 = initial_theta.copy() theta1[0] = 0 grad = np.dot(np.transpose(x),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度 return grad
s型函数（即
）实现代码
# s型函数def sigmoid(z): h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化，与z的长度一置 h = 1.0/(1.0+np.exp(-z)) return h
映射为多项式因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合
eg:映射为2次方的形式:
实现代码：
# 映射为多项式def mapfeature(x1,x2): degree = 3; # 映射的最高次方 out = np.ones((x1.shape[0],1)) # 映射后的结果数组（取代x） ''' 这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2 ''' for i in np.arange(1,degree+1): for j in range(i+1): temp = x1**(i-j)*(x2**j) #矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.* out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1))) return out
使用scipy的优化方法梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数
调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法broyden-fletcher-goldfarb-shanno
costfunction是自己实现的一个求代价的函数，
initial_theta表示初始化的值,
fprime指定costfunction的梯度
args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costfunction的theta返回
result = optimize.fmin_bfgs(costfunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(x,y,initial_lambda))
运行结果data1决策边界和准确度
data2决策边界和准确度
使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
https://github/lawlite19/machinelearning_python/blob/master/logisticregression/logisticregression_scikit-learn.py
导入包
from sklearn.linear_model import logisticregressionfrom sklearn.preprocessing import standardscalerfrom sklearn.cross_validation import train_test_splitimport numpy as np
划分训练集和测试集
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(x,y,test_size=0.2)
归一化
scaler = standardscaler() scaler.fit(x_train) x_train = scaler.fit_transform(x_train) x_test = scaler.fit_transform(x_test)
逻辑回归
model = logisticregression() model.fit(x_train,y_train)
预测
predict = model.predict(x_test) right = sum(predict == y_test) predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1))) # 将预测值和真实值放在一块，好观察 print predict print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0])) #计算在测试集上的准确度
逻辑回归_手写数字识别_onevsall
https://github/lawlite19/machinelearning_python/blob/master/logisticregression
全部代码
https://github/lawlite19/machinelearning_python/blob/master/logisticregression/logisticregression_onevsall.py
随机显示100个数字我没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下
灰度图：
实现代码：
# 显示100个数字def display_data(imgdata): sum = 0 ''' 显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可） - 初始化一个二维数组 - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组 - 显示即可 ''' pad = 1 display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad))) for i in range(10): for j in range(10): display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgdata[sum,:].reshape(20,20,order=f)) # order=f指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行 sum += 1 plt.imshow(display_array,cmap='gray') #显示灰度图像 plt.axis('off') plt.show()
onevsall如何利用逻辑回归解决多分类的问题，onevsall就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了
如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推...
可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类
手写数字识别共有0-9，10个数字，需要10次分类
由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字，而进行逻辑回归需要0/1的label标记，所以需要对y处理
说一下数据集，前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图，处理后的y，前500行的第一列是1，其余都是0,500-1000行第二列是1，其余都是0....
然后调用梯度下降算法求解theta
实现代码：
# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta def onevsall(x,y,num_labels,lambda): # 初始化变量 m,n = x.shape all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列对应相应分类的theta,共10列 x = np.hstack((np.ones((m,1)),x)) # x前补上一列1的偏置bias class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一个分类的theta # 映射y for i in range(num_labels): class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值 #np.savetxt(class_y.csv, class_y[0:600,:], delimiter=',') '''遍历每个分类，计算对应的theta值''' for i in range(num_labels): result = optimize.fmin_bfgs(costfunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(x,class_y[:,i],lambda)) # 调用梯度下降的优化方法 all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) # 放入all_theta中 all_theta = np.transpose(all_theta) return all_theta
预测之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的theta代入预测的s型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为0的将y映射在第一列，为1的映射在第二列，依次类推
实现代码：
# 预测def predict_onevsall(all_theta,x): m = x.shape[0] num_labels = all_theta.shape[0] p = np.zeros((m,1)) x = np.hstack((np.ones((m,1)),x)) #在x最前面加一列1 h = sigmoid(np.dot(x,np.transpose(all_theta))) #预测 ''' 返回h中每一行最大值所在的列号 - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率） - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字） ''' p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0])) for i in np.arange(1, m): t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i])) p = np.vstack((p,t)) return p
运行结果10次分类，在训练集上的准确度：
使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现https://github/lawlite19/machinelearning_python/blob/master/logisticregression/logisticregression_onevsall_scikit-learn.py
导入包
from scipy import io as spioimport numpy as npfrom sklearn import svmfrom sklearn.linear_model import logisticregression
加载数据
data = loadmat_data(data_digits.mat) x = data['x'] # 获取x数据，每一行对应一个数字20x20px y = data['y'] # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1) y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)
拟合模型
model = logisticregression() model.fit(x, y) # 拟合
预测
predict = model.predict(x) #预测 print u预测准确度为：%f%%%np.mean(np.float64(predict == y)*100)
输出结果（在训练集上的准确度）
（未完待续）