证法1：
δabc是直角三角形,作ab的垂直平分线n交bc于d
∴ ad=bd（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
以db为半径,d为圆心画弧,与bc在d的另一侧交于c'
∴dc’=ad=bd∴∠bad=∠abd ∠c’ad=∠ac’d （等边对等角）
又∵∠bad+∠abd+∠c’ad+∠ac’d =180°（三角形内角和定理）
∴∠bad+∠c’ad=90° 即：∠bac’=90°
又∵∠bac=90°
∴∠bac=∠bac’
∴c与c’重合（也可用垂直公理证明 ：假使c与c’不重合 由于ca⊥ab,c’a⊥ab 故过a有ca、c’a两条直线与ab垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴c与c’重合）
∴dc=ad=bd∴ad是bc上的中线且ad=bc/2这就是直角三角形斜边上的中线定理。
证法2：
δabc是直角三角形,ad是bc上的中线,作ab的中点e,连接de
∴bd=cb/2,de是δabc的中位线
∴de‖ac（三角形的中位线平行于第三边）
∴∠deb=∠cab=90°（两直线平行,同位角相等）
∴de⊥ab
∴e是ab的垂直平分线
∴ad=bd（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴ad=cb/2